Langevin方程式に現れる雑音項は，しばしば「環境から受けるランダムな力」「無秩序な外乱」と説明される．もちろん現象論としては便利であり，多くの場面で正しい予言も与える．しかし，影響汎関数やMori–Zwanzig形式の立場から見ると，「雑音＝力学そのものに含まれるランダム性」という理解は正確ではない．
雑音は，見ていない自由度が持つ決定論的な運動を，観測自由度の方へ押し戻してきたものである．ランダム性は，その運動を「初期条件まで含めて」追い切らない（追えない）という粗視化の選択から生まれる．
一般化Langevin方程式が言っていること ¶
Mori–Zwanzig形式では，関心のある変数 $A(t)$ の運動は（射影を一つ選びさえすれば）一般化Langevin方程式として
$$\begin{align} \frac{d}{dt}A(t) = i\Omega A(t) - \int_0^t ds K(t-s)A(s) + F(t) \end{align}$$の形に書ける．ここで $K$ は記憶核（遅れをもつ摩擦），$F$ が雑音である．重要なのは，この式が「それらしい仮定をして書いた近似式」ではなく，射影に基づく恒等式として出てくる点である（近似は，後で $K$ や $F$ に対してMarkov近似などを行う段階で入る）．
Mori–Zwanzigの雑音は決定論的である ¶
同じ枠組みの中で，雑音項は
$$\begin{align} F(t)=e^{t\mathcal Q\Omega}\mathcal Q\Omega A \end{align}$$として厳密に定義されていた．ここで $\mathcal P$ を「見たい自由度への射影」，$\mathcal Q=1-\mathcal P$ を「捨てた自由度への射影」，$\Omega$ を時間発展の生成子（Liouvillian）とする．この定義が意味していることは単純である．
- まず $A$ を動かそうとしたときに，見たい部分（$\mathcal P$）に入らなかった成分が $\mathcal Q\Omega A$ である．
- それを捨てた世界（$\mathcal Q$ 空間）の中で時間発展させ，$e^{t\mathcal Q\Omega}$ によって持ち運ぶ．
- その結果が，観測自由度にとっては「外から来た項」として見える．
したがって，ミクロな初期状態が一つに固定されているなら $F(t)$ は一意に決まり，雑音は本質的に決定論的である．雑音が確率過程として扱われるのは，捨てた自由度の初期条件を（観測者が）指定できず，分布として平均化するからである．
このとき「雑音は $A$ と独立である」という性質も，力学の気分ではなく射影の構造として現れる．典型的には
$$\begin{align} \langle F(t) A(0)\rangle=0 \end{align}$$のような直交性（内積の取り方に依存する）が成り立ち，「見たい自由度」で張った部分空間に，雑音が混ざらないように整理される．
影響汎関数での雑音は「仮想的な確率変数」である ¶
同じ物理は，影響汎関数の言葉でも見える．環境自由度を積分消去すると，系の有効作用は影響作用 $S_{\mathrm{IF}}$ を受け取る．その虚部は一般に
$$\begin{align} \mathrm{Im} S_{\mathrm{IF}} \sim \int dt dt' X_{\mathrm q}(t) N(t-t') X_{\mathrm q}(t') \end{align}$$のような二次形式を持ち，Hubbard–Stratonovich変換によって確率変数 $\xi(t)$ を導入して
$$\begin{align} \langle \xi(t)\xi(t')\rangle = N(t-t') \end{align}$$と表現できる．ここで注意すべき点は二つある．
- $\xi(t)$ は「環境が本当にサイコロを振っている」ことを意味しない．あくまで有効作用の虚部を計算上扱いやすくする表現である．
- 雑音相関 $N(t-t')$ は任意に仮定してよい量ではなく，環境の相関関数（より正確には適切な順序づけを施した相関）としてミクロ理論から決まる．
言い換えれば，影響汎関数で現れる「雑音」は，捨てた自由度の統計を織り込んだ結果として現れるものであり，それ自体が新しい仮定ではない．
散逸と雑音は同じ源を持つ ¶
一般化Langevin方程式の第2項（記憶核）と第3項（雑音）は，いずれも $\mathcal Q$ 空間の時間発展に由来する．したがって，原理的には
- 雑音だけを入れて散逸を無視する
- 散逸だけを入れて雑音を捨てる
という操作は整合的ではない（特別な極限や非物理な近似を除く）．平衡では，この二つの関係が揺動散逸定理として対称化された形で現れ，雑音相関が応答（散逸）の情報と結び付く．
いつ白色雑音になり，いつならないのか ¶
現象論でよく用いられるLangevin方程式は「摩擦は瞬時」「雑音は白色（$\delta$ 相関）」という形をしていることが多い．これは，環境の相関が十分短時間で減衰し，観測したい自由度がそれよりはるかに遅いという時間スケール分離があるとき，
$$\begin{align} K(t)\approx 2\gamma \delta(t), \qquad N(t)\approx 2D \delta(t) \end{align}$$と近似できるからである．しかし環境に遅いモードが残っている場合，$K(t)$ は長い尾を持ち，雑音も色付き（colored noise）になり，Markov近似は破綻する．この破綻は「確率過程を選び間違えた」ではなく，捨てた自由度が短時間で忘却されないことの反映である．
雑音を見るということ ¶
雑音を確率過程として扱うこと自体は，実用上しばしば有効である．しかし，「雑音がどこから来たのか」を忘れると，有効理論の適用限界や近似の破綻点を見誤る．雑音とは，捨てた自由度が「まだそこにいる」ことの痕跡であり，そのスペクトルや相関は環境の構造をむしろ積極的に物語る．
雑音は無秩序の別名ではない．粗視化された世界で，見えない自由度が残した署名である．