前節で見たように，粗視化を経路空間で定義すると，環境自由度の消去は履歴依存（記憶）を残す．量子系では，期待値や密度行列の時間発展が閉時間経路（Schwinger–Keldysh 経路）上の経路積分として表現されるため，「経路粗視化」はとくに自然な形で実装できる．
Feynman–Vernon の影響汎関数（influence functional）は，環境自由度を積分消去した結果を，系の二本の経路 $X^\pm(t)$ に対する重みとしてまとめ上げた量である．本節ではその定義と意味を整理し，非マルコフ性・散逸・雑音（デコヒーレンス）が同じ構造から現れることを見通しよく理解する．
縮約密度行列と閉時間経路 ¶
量子系では確率分布の代わりに密度行列 $\rho$ が基本対象である．系自由度を $X$，環境自由度を $Y$ とし，全系密度行列から環境を跡を取った縮約密度行列
$$\begin{align} \rho_X(t)\equiv \mathrm{Tr}_Y \rho(t) \end{align}$$を考える．座標表示で書けば
$$\begin{align} \rho_X(X_f^+,X_f^-,t_f)=\int dY_f \rho(X_f^+,Y_f;X_f^-,Y_f;t_f) \end{align}$$であり，量子でも粗視化が「見ない自由度を積分する」形をしていることが分かる．
非平衡では $\rho(t)$ の時間発展は
- 右からの時間発展 $U$（前進枝）と，
- 左からの時間発展 $U^\dagger$（後退枝）
を同時に含むため，経路は自然に二重化される．以後，系の二本の経路を $X^+(t),X^-(t)$ と書く．
影響汎関数の定義（Feynman–Vernon） ¶
影響汎関数 $\mathcal F[X^+,X^-]$ は，「環境のあらゆる履歴を足し合わせた結果」を $X^\pm$ の汎関数として定義したものである．代表的には
$$\begin{align} \mathcal F[X^+,X^-] \equiv \int \mathcal D Y^+ \mathcal D Y^- e^{i\left(S_Y[Y^+]-S_Y[Y^-]\right)} e^{i S_{\mathrm{int}}[X^+,X^-,Y^+,Y^-]} \end{align}$$の形で導入される（厳密には初期状態の密度行列や境界条件が入り，$S_{\mathrm{int}}$ の書き方もモデルに依存する）．重要なのは，$\mathcal F$ が $Y$ を積分消去した結果を ただ一つの汎関数に圧縮している点である．
影響汎関数は「作用」ではない ¶
影響汎関数は系 $X$ の作用そのものではなく，二重化された経路 $X^\pm$ に対する重みである．したがって，有効理論は裸の重み
$$\begin{align} e^{i(S_X[X^+]-S_X[X^-])} \end{align}$$に影響汎関数を掛け合わせた
$$\begin{align} e^{i(S_X[X^+]-S_X[X^-])} \mathcal F[X^+,X^-] \end{align}$$として初めて定義される．このとき $\mathcal F$ は一般に $X^+$ と $X^-$ を非自明に結合するため，縮約力学はユニタリな閉系力学ではなくなる（デコヒーレンスが現れる）．
非局所性（記憶）の起源 ¶
$Y$ を消去した結果として得られる $\mathcal F[X^+,X^-]$ は，異なる時刻の $X(t)$ を結びつける時間非局所項を一般に含む．模式的に
$$\begin{align} \mathcal F[X^+,X^-] \sim \exp\left[\int dt dt' K(t,t') \Phi\bigl(X^\pm(t),X^\pm(t')\bigr)\right] \end{align}$$のような形が現れる．これは環境が過去の情報を保持し，後の時刻にフィードバックすることを意味し，
非マルコフ性は仮定ではなく，積分消去の結果である
という前節の主張が，量子でも同様に成り立つことを示している．
実部と虚部：散逸と雑音（デコヒーレンス） ¶
影響汎関数はしばしば
$$\begin{align} \mathcal F[X^+,X^-]\equiv \exp\bigl(i S_{\mathrm{IF}}[X^+,X^-]\bigr) \end{align}$$と指数化され，$S_{\mathrm{IF}}$ を影響作用（influence action）と呼ぶ．一般に $S_{\mathrm{IF}}$ は複素になり，その
- 実部：有効運動方程式に現れる散逸（摩擦）や記憶核，
- 虚部：位相のランダム化としてのデコヒーレンス，および雑音相関，
に対応する構造が同時に現れる．つまり，
散逸と雑音は別々に仮定するものではなく，同じ粗視化から同時に生成される．
この点が，揺動散逸定理（FDT）やその非平衡拡張の出発点になる．
まとめ ¶
- 量子系の粗視化は，縮約密度行列 $\rho_X=\mathrm{Tr}_Y\rho$ として実装される．
- Schwinger–Keldysh 形式では経路が二重化され，環境消去の結果は $\mathcal F[X^+,X^-]$ という一つの汎関数にまとめられる．
- 影響汎関数は時間非局所項を含み，非マルコフ性・散逸・雑音（デコヒーレンス）が同じ構造から現れる．
次節では $\mathcal F=\exp(iS_{\mathrm{IF}})$ とおき，有効作用を構成することで，一般化 Langevin 方程式（散逸核＋雑音）がどのように導かれるかを具体的に見ていく．