非平衡では，「ある時刻の状態」だけを見ても現象の本質がつかめないことが多い．散逸や記憶といった効果は，時間発展の履歴そのものに現れるからである．この点を最初から正しく捉えるには，粗視化の対象を状態分布から 経路確率へと拡張するのが最短である．
本節では，経路空間での周辺化として粗視化を定義し，「全系がマルコフであっても，粗視化後は一般にマルコフではなくなる」ことを離散時間の式で見通しよく示す．
経路確率という基本対象 ¶
全系の自由度を $X$（残す）と $Y$（消す）に分け，時間区間 $[t_0,t_f]$ にわたる軌道を $X(t),Y(t)$ と書く．非平衡で基本となるのは，ある時刻の分布 $P(X,t)$ ではなく，軌道全体に重みを与える経路確率（確率汎関数）
$$\begin{align} \mathcal P[X(t),Y(t)] \end{align}$$である．
連続時間の議論は，離散化した時刻 $t_n=t_0+n\Delta t$（$n=0,\dots,N$）での列
$$\begin{align} X_{0:N}\equiv(X_0,\dots,X_N),\qquad Y_{0:N}\equiv(Y_0,\dots,Y_N) \end{align}$$を考えると直感が得やすい．
経路空間での粗視化（経路周辺化） ¶
経路に対する粗視化は，各時刻ごとに $Y$ を「消す」のではなく，経路全体を一つの対象として周辺化する：
$$\begin{align} \mathcal P_{\mathrm{eff}}[X(t)] \equiv \int \mathcal D Y(t) \mathcal P[X(t),Y(t)]. \end{align}$$離散化して書けば
$$\begin{align} \int \mathcal D Y(t) \cdots \equiv \prod_{n=0}^{N}\int dY_n \cdots \end{align}$$である．この操作の結果，$Y$ の自由度が担っていた「過去の情報」が，$X$ だけの有効理論では一般に時間非局所（履歴依存）として姿を変えて残る．
なぜマルコフ性が壊れるか：離散時間での見通し ¶
全系 $(X,Y)$ がマルコフ過程であるとは，遷移核 $T$ を用いて
$$\begin{align} P(X_{0:N},Y_{0:N}) = P_0(X_0,Y_0) \prod_{n=0}^{N-1} T(X_{n+1},Y_{n+1}\mid X_n,Y_n) \end{align}$$と書けることに等しい．
ここで $Y$ を消して得られる $X$ の経路確率は
$$\begin{align} P_{\mathrm{eff}}(X_{0:N}) \equiv \int dY_{0:N} P(X_{0:N},Y_{0:N}) \end{align}$$で与えられる．このとき，$X$ の「一段先」の条件付き確率は
$$\begin{align} P_{\mathrm{eff}}(X_{n+1}\mid X_{0:n}) = \int dY_n \pi_n(Y_n) \tilde T(X_{n+1}\mid X_n,Y_n), \end{align}$$と書ける．ここで $\pi_n(Y_n)\equiv P(Y_n\mid X_{0:n})$ は，$X$ の過去 $X_{0:n}$ を見たときの隠れ自由度の事後分布であり，
$$\begin{align} \tilde T(X_{n+1}\mid X_n,Y_n)\equiv\int dY_{n+1} T(X_{n+1},Y_{n+1}\mid X_n,Y_n) \end{align}$$である．ポイントは，$\pi_n$ が一般に $X_n$ だけでは決まらず 履歴 $X_{0:n}$ に依存することである．したがって
全系がマルコフでも，粗視化後の $X$ は一般にマルコフにならない．
これが「粗視化がマルコフ性を破壊する」理由であり，近似の副作用ではなく周辺化の必然的帰結である．
もちろん，$Y$ が十分速く緩和して $\pi_n(Y_n)\simeq \pi_{\mathrm{st}}(Y_n\mid X_n)$ と近似できるなら，有効過程は（近似的に）マルコフ化する．時間スケール分離やMarkov近似とは，まさにこの段階で導入される仮定である．
射影としての理解 ¶
経路周辺化は
$$\begin{align} \mathcal P: \mathcal P[X(t),Y(t)]\mapsto \mathcal P_{\mathrm{eff}}[X(t)] \end{align}$$という写像として抽象化できる．ここでの「射影」は，ヒルベルト空間の直交射影に限らず，確率測度の空間で「見る自由度を選ぶ」操作を指すと考えるとよい．
まとめ ¶
- 非平衡で基本となるのは状態分布ではなく 経路確率である．
- 粗視化は経路空間での周辺化 $\int\mathcal D Y(t)$ として定義できる．
- 全系がマルコフでも，隠れ自由度の事後分布 $\pi_n(Y_n)=P(Y_n\mid X_{0:n})$ が履歴依存になるため，有効過程は一般に 非マルコフ的になる．
- 近似（時間スケール分離，Markov近似など）は，この厳密な経路粗視化の後段で導入される．
次節では，量子系における経路粗視化を具体的に実装する枠組みとして，Feynman–Vernon の影響汎関数（influence functional）を導入する．