第III部では，ミクロな自由度をすべて追うことなく，有効理論（effective theory）として閉じた記述を作るための枠組みを扱う．その第一歩は，「消したい自由度を積分して取り除く」という粗視化（coarse-graining）の定義を，あいまいさなく書くことである．
粗視化はしばしば「平均を取る」「細かい情報を捨てる」と直感的に説明される．しかし本質はより単純で，全系の確率（あるいは密度行列）から，観測したい自由度だけの周辺量を作るという操作である．本節ではこの操作を周辺化として定義し，その時点で既に不可逆性（情報の喪失）が生じること，さらに射影演算子として整理できることを確認する．
粗視化＝周辺化 ¶
全系の自由度を，観測・記述したい自由度 $X$ と，明示的には追跡しない自由度 $Y$ に分ける．古典系なら全系状態は同時確率分布 $P(X,Y)$ で与えられ，粗視化とは
$$\begin{align} P_{\mathrm{eff}}(X) \equiv \int dY P(X,Y) \end{align}$$で定義される周辺分布である（$Y$ が離散なら積分は和に置き換わる）．$P$ が正規化されていれば
$$\begin{align} \int dX P_{\mathrm{eff}}(X)=\int dX dY P(X,Y)=1 \end{align}$$であり，周辺化は確率の正規化を保つ．
量子系でも構造は同じで，全系密度行列 $\rho$ に対して環境自由度 $Y$ を跡を取った
$$\begin{align} \rho_{\mathrm{eff}} \equiv \mathrm{Tr}_Y \rho \end{align}$$が粗視化された（縮約された）密度行列になる．座標表示では
$$\begin{align} \rho_{\mathrm{eff}}(X,X') = \int dY \rho(X,Y;X',Y) \end{align}$$と書け，やはり「見ない自由度を積分する」形をしている．
この意味で粗視化は，経験的な平均操作というよりも，
「どの自由度を見るか」を選ぶ射影
として理解するのが自然である．
不可逆性：条件付き情報の喪失 ¶
周辺化は一般に情報を失う．実際，
$$\begin{align} P(X,Y)=P_{\mathrm{eff}}(X) P(Y\mid X) \end{align}$$と分解できるが，$P_{\mathrm{eff}}(X)$ だけから条件付き分布 $P(Y\mid X)$ を一意に復元することはできない．すなわち
粗視化は定義した瞬間に不可逆である
この不可逆性は「近似を入れたから」生じるのではない．粗視化の段階は厳密であり，失われたのは単に「記述しない」と決めた自由度に関する条件付き情報である．その後に現れる散逸やエントロピー生成は，この情報の行方（どの形で残るか）として理解される．
射影演算子としての定式化 ¶
周辺化を作用素として書けば，確率分布に作用する写像
$$\begin{align} (\mathcal P P)(X)\equiv\int dY P(X,Y) \end{align}$$を定義できる．これは二回かけても変わらない（冪等性）
$$\begin{align} \mathcal P^2=\mathcal P \end{align}$$を満たすので，$\mathcal P$ は（広い意味での）射影演算子とみなせる．補射影 $\mathcal Q\equiv 1-\mathcal P$ を導入すると，のちに
- Mori–Zwanzig 形式における $\mathcal P/\mathcal Q$ 分解，
- 量子論での影響汎関数（influence functional），
- 有効運動方程式に現れる記憶核と雑音，
が同じ構造の別表現として現れる．
平衡統計力学：自由エネルギーの再編成 ¶
平衡統計力学は，粗視化が「重みの修正」として静的に現れる特殊例である．ミクロ状態を $(X,Y)$，マクロ状態を $X$ と見れば分配関数
$$\begin{align} Z=\int dX dY e^{-\beta H(X,Y)} \end{align}$$は
$$\begin{align} Z=\int dX e^{-\beta F_{\mathrm{eff}}(X)},\qquad F_{\mathrm{eff}}(X)\equiv -\frac{1}{\beta}\ln\int dY e^{-\beta H(X,Y)} \end{align}$$と書ける．ここに現れる $F_{\mathrm{eff}}(X)$ はエネルギーではなく自由エネルギーであり，$Y$ のエントロピーや相互作用の寄与を含んだ「粗視化後の有効ポテンシャル」として理解される．
非平衡で何が変わるか ¶
平衡では $Y$ の消去は静的な重みの再定義で完結する．しかしダイナミクスを扱うと，$Y$ の消去は一般に
- 有効運動が 非マルコフ的（履歴依存）になる，
- 時間非局所な 記憶核 が生成される，
- 散逸 と 雑音 が同時に現れる，
という形で「複雑さ」を残す．重要なのは，これらは粗視化の副作用ではなく，粗視化そのものの帰結だという点である．
もちろん，適切な仮定（時間スケール分離や弱結合など）を追加すれば，記憶を局所化したり雑音を単純化したりできる．しかしそれは粗視化とは別の段階で導入される「有効化の近似」である．
まとめ ¶
- 粗視化は $Y$ を積分して $P_{\mathrm{eff}}(X)$ を作る 周辺化（量子では部分トレース）である．
- 周辺化は条件付き情報 $P(Y\mid X)$ を捨てるので，定義した時点で 不可逆 である．
- 周辺化は冪等な写像 $\mathcal P$ として書け，$\mathcal Q=1-\mathcal P$ との分解が後の形式（影響汎関数，Mori–Zwanzig）を貫く．
次節では，粗視化の対象を「状態」から「時間発展全体（経路）」へと拡張し，なぜ粗視化が一般にマルコフ性を壊し，記憶を生むのかを見通しよく理解する．