前節で平衡条件を生成汎関数の対称性（動的KMS対称性）として捉えた．その対称性を二点関数へ落とすと，最もよく知られた帰結である揺動散逸定理（fluctuation–dissipation theorem; FDT）が得られる．
FDTは，熱平衡では
- 自発的な揺動（相関＝統計成分）
- 外場に対する応答（散逸＝因果成分）
が独立ではいられないことを主張する．Keldysh形式の言葉では，統計成分が温度とスペクトルから固定される，という形でこの主張が現れる．
Keldysh成分の役割分担 ¶
観測量 $B$ の二点関数は，Keldysh分解によって
$$\begin{align} G^R,\quad G^A,\quad G^K \end{align}$$の3つの成分に分かれる．ここで $G^R,G^A$ は因果的応答（力学）を担い，$G^K$ は揺らぎ（状態・分布）を担う．非平衡では一般に $G^K$ は独立自由度として残るが，平衡ではKMS条件がそれを固定する．
例えば
$$\begin{align} G^R(t)=-i\theta(t)\langle[B(t),B(0)]\rangle,\qquad G^K(t)=-i\langle\{B(t),B(0)\}\rangle \end{align}$$であり，交換子（応答）と反交換子（揺らぎ）が別々の成分として現れていることが分かる．
以降，ボース的規約に揃えて
$$\begin{align} G^>(t)=-i\langle B(t)B(0)\rangle,\qquad G^<(t)=-i\langle B(0)B(t)\rangle \end{align}$$を導入する．このとき
$$\begin{align} G^K(\omega)\equiv G^>(\omega)+G^<(\omega) \end{align}$$$$\begin{align} \rho(\omega) \equiv i\bigl(G^>(\omega)-G^<(\omega)\bigr) = i\bigl(G^R(\omega)-G^A(\omega)\bigr) = -2\mathrm{Im} G^R(\omega) \end{align}$$KMS条件の周波数表示としてのFDT ¶
熱平衡（$\rho_{\mathrm{eq}}\propto e^{-\beta H}$）ではKMS条件から
$$\begin{align} G^>(\omega)=e^{\beta\omega}G^<(\omega) \end{align}$$が従う（導出は第5章5.3節）．この指数関係を用いると，和 $G^K=G^>+G^<$ と差 $\rho=i(G^>-G^<)$ を温度で結び付けられ，
$$\begin{align} G^K(\omega) = \coth\left(\frac{\beta \omega}{2}\right) \bigl(G^R(\omega)-G^A(\omega)\bigr) \end{align}$$が得られる（ボース系）．これがKeldysh形式における揺動散逸定理である．同値な形として
$$\begin{align} G^K(\omega) = -i\coth\left(\frac{\beta \omega}{2}\right)\rho(\omega) \end{align}$$とも書ける．フェルミ系では $\coth(\beta\omega/2)$ が $\tanh(\beta\omega/2)$ に置き換わる．
何が固定されたのか ¶
上の式は，力学（スペクトル）を担う $G^R-G^A$ と温度が与えられれば，統計成分 $G^K$ が一意に決まることを意味する．平衡では「揺らぎを別途与える」自由度が消え，二点関数の情報量が縮約される．動的KMS対称性が $cl/q$ 基底で「揺らぎと応答の混合」として見えたのは，まさにこの縮約を反映している．
さらに低周波（古典）極限 $\beta\omega\ll 1$ では
$$\begin{align} \coth\left(\frac{\beta\omega}{2}\right)\simeq \frac{2}{\beta\omega}=\frac{2k_B T}{\omega} \end{align}$$となり，FDTは「雑音は散逸に比例し，比例係数が温度で決まる」という古典的直観へ滑らかに接続する．
平衡性の診断としてのFDT ¶
FDTは新たな仮定ではなく，KMS条件（＝平衡の定義）の周波数表示である．したがってFDTの破れはKMS条件の破れ，すなわち動的KMS対称性の破れを意味する．この意味でFDTは，実時間形式の中で平衡性を最も直接に診断する指標として働く．
次節では，この平衡制約（KMS＋FDT）のもとでKeldysh形式の自由度がどのように縮約され，虚時間方向への射影としてMatsubara形式がどのように回収されるのかを見ていく．