前節ではFDTの代表的な形を示し，それが平衡で統計成分が固定されることを意味する，という物理的解釈を与えた．本節では，FDTが独立の仮定ではなくKMS条件の直接の帰結であることを，lesser/greater Green関数を用いて最小限の手順で確認する．
準備：lesser/greater Green関数とスペクトル関数 ¶
実時間の二点相関として
$$\begin{align} G^>(t)=-i\langle B(t)B(0)\rangle,\qquad G^<(t)=-i\langle B(0)B(t)\rangle \end{align}$$を導入する（ここではボース的な規約に揃える）．周波数表示では，スペクトル関数を
$$\begin{align} \rho(\omega)\equiv i\bigl(G^>(\omega)-G^<(\omega)\bigr) = -2 \mathrm{Im} G^R(\omega) \end{align}$$で定義する．
KMS条件：平衡が課す唯一の関係 ¶
平衡（$\rho_{\mathrm{eq}}\propto e^{-\beta H}$）ではKMS条件
$$\begin{align} \langle B(t)B(0)\rangle=\langle B(0)B(t+i\beta)\rangle \end{align}$$が成り立つ．これを $G^>,G^<$ で書き直すと
$$\begin{align} G^>(t)=G^<(t+i\beta) \end{align}$$となる．大小相関が虚時間シフトで結び付けられることが，平衡の本質的な制約である．
周波数空間：指数因子 ¶
上式を周波数に移すと（解析性を用いる），
$$\begin{align} G^>(\omega)=e^{\beta\omega}G^<(\omega) \end{align}$$が得られる．温度はこの指数因子として現れ，平衡の情報がここで初めて周波数表示に入る．
KMSからFDTへ ¶
KMSから得た関係を用いて和と差を取る．差はスペクトル関数であり，
$$\begin{align} \rho(\omega) = i\bigl(G^>(\omega)-G^<(\omega)\bigr) = i\bigl(e^{\beta\omega}-1\bigr)G^<(\omega) \end{align}$$より
$$\begin{align} G^<(\omega)=\frac{-i}{e^{\beta\omega}-1} \rho(\omega),\qquad G^>(\omega)=\frac{-i e^{\beta\omega}}{e^{\beta\omega}-1} \rho(\omega) \end{align}$$が従う．
ここから対称相関（揺らぎ）を
$$\begin{align} C(\omega)\equiv \frac{1}{2}\langle\{B(\omega),B(-\omega)\}\rangle \end{align}$$とみなすと（規約に依存するが結論の形は同じ），
$$\begin{align} C(\omega)=\frac{i}{2}\bigl(G^>(\omega)+G^<(\omega)\bigr) \end{align}$$で与えられる．上の式を代入すれば
$$\begin{align} G^>(\omega)+G^<(\omega) = -i \frac{e^{\beta\omega}+1}{e^{\beta\omega}-1} \rho(\omega) = -i \coth\left(\frac{\beta\omega}{2}\right)\rho(\omega) \end{align}$$となり，
$$\begin{align} C(\omega)=\frac{1}{2}\coth\left(\frac{\beta\omega}{2}\right)\rho(\omega) \end{align}$$を得る．これがFDTの代表的な形である．
Keldysh形式での表現 ¶
Keldysh成分を
$$\begin{align} G^K(\omega)\equiv G^>(\omega)+G^<(\omega) \end{align}$$と定義すると，上の結果は
$$\begin{align} G^K(\omega)=\coth\left(\frac{\beta\omega}{2}\right)\bigl(G^R(\omega)-G^A(\omega)\bigr) \end{align}$$と一行で書ける（$\rho=i(G^R-G^A)$ を用いた）．平衡では，統計成分 $G^K$ が応答成分と温度だけで固定されることが明示されている．
まとめ ¶
- KMS条件は $G^>(\omega)=e^{\beta\omega}G^<(\omega)$ を与え，大小相関を温度で結び付ける．
- その結果，スペクトル $\rho(\omega)$ から揺らぎ（対称相関）が一意に決まる．
- FDTはKMS条件の直接の帰結であり，新しい仮定ではない．
次節では，この関係を「外場が系にする仕事」と「雑音（自発揺らぎ）」の観点から読み替え，温度が何を測っているのかをより直感的に理解する．