ここまで，実時間Green関数が満たすべき構造として，因果性（解析性），スペクトル関数，正値性，Kramers–Kronig関係を見てきた．これらは結局，「そのGreen関数が物理的に安定な系を記述しているか」という問いに収束する．本節では，遅延Green関数の極の位置と散逸の符号から読み取れる安定性条件を整理し，近似や有効理論で何をチェックすべきかを明確にする．
安定性とは何か ¶
ここで言う安定性とは，外場がない限り系が自発的にエネルギーを増やさず，摂動が指数的に暴走しないという意味である．線形応答の言葉では，「小さな摂動が時間とともに増幅されない」ことが安定性の最小要請になる．
遅延Green関数の極と安定性 ¶
遅延Green関数の極の位置は，摂動に対する応答の時間発展を直接反映する．典型的には
- 極が下半平面にある：摂動は減衰する（安定）．
- 極が実軸上にある：無限寿命モード（限界的安定）．
- 極が上半平面にある：指数的増大（不安定）．
したがって物理的に安定な系では，遅延Green関数は上半平面に極を持たないことが要請される．
散逸（虚部）の符号と受動性 ¶
外場が系にする仕事やエネルギー吸収は，応答関数の虚部に関係する．平衡にある受動的な系では，外場がない限り系が外へ仕事をすることはない．この意味で，周波数領域では
$$\begin{align} \omega \mathrm{Im} G^R(\omega)\ge 0 \end{align}$$のような不等式（規約に依存）が安定性・受動性の条件として現れる．この条件は，スペクトル関数の正値性と同根であり，熱力学的な第二法則的制約とも整合している．
因果性だけでは十分でない ¶
因果性（遅延性）は「未来が過去に影響しない」ことを保証するが，それだけで安定性が保証されるわけではない．例えば反転分布を持つ増幅系は因果的であり得るが，受動性を失っている．物理的な系を記述するには，因果性と整合した形で安定性（正値性・受動性）も満たす必要がある．
近似・粗視化で安定性が壊れるとき ¶
有効理論や近似の後では，高周波成分の切断，不適切なマルコフ近似，非エルミート化などにより，安定性条件が破れることがある．具体的な兆候は
- スペクトル関数が負になる．
- 極が上半平面に現れる．
- 応答が非物理的に増幅する．
といった形で現れる．その場合は，近似が物理的整合性を壊している可能性が高い．
まとめ ¶
- 安定性は「外場がない限りエネルギーが暴走しない」という物理的要請である．
- 遅延Green関数の極が上半平面にあると指数的不安定を意味する．
- 受動性（散逸の符号）や正値性は安定性と直結し，有効理論の健全性チェックになる．
- 因果性だけでは安定性は保証されないため，両者を同時に満たす必要がある．
次章では，平衡でのみ成立する揺動散逸定理（FDT）を扱う．そこで初めて，応答（$G^R$）と揺らぎ（分布）がKMS条件によって結び付けられることを具体的に見る．