Green関数はしばしば「微分方程式や多体問題を解くための便利な計算手法」として紹介される．この見方は正しい．実際，Green関数は線形応答，摂動展開，ダイアグラム計算において極めて強力な計算道具である．
しかし本文章では，あえて別の見方を前面に出す．Green関数は単なる道具ではなく，物理的仮定を表現し，議論の射程を管理するための「言語」である．どのGreen関数を採用するかは，どの仮定を定義の中に組み込み，どの自由度をまだ残すかを選ぶことに対応している．
計算手法としてのGreen関数 ¶
計算手法として見たとき，Green関数の役割は明確である．
- 方程式を解く．
- 応答を計算する．
- スペクトルを求める．
この立場では「どのGreen関数を使うか」「どの順序を選ぶか」は計算の都合として選ばれがちである．Matsubara形式とKeldysh形式の違いも「平衡用か，非平衡用か」という分類で語られることが多い．
言語としてのGreen関数：定義に埋め込まれるもの ¶
ところが，Green関数を「言語」として捉えると，同じ式が異なる意味を持ち始める．Green関数の定義には必ず次の選択が含まれる．
- 時間順序（あるいは経路順序）をどう定義するか．
- 因果性をどのように実装するか．
- どの状態（初期条件）を暗黙に仮定するか．
- どの情報を保持し，どの情報を捨てるか（捨象）．
これらは計算上の便宜ではなく，物理的な前提条件である．したがって，形式を選ぶとは「何を仮定したか」を選ぶことに等しい．
Matsubara形式が暗黙に仮定しているもの ¶
Matsubara Green関数を用いるとき，われわれは次のことを最初から受け入れている．
- 系は熱平衡にある．
- KMS条件が成り立つ．
- 状態はカノニカル（あるいはグランドカノニカル）分布である．
- 初期条件の詳細は，長時間の観測可能量には現れない（少なくとも議論の対象から外す）．
これらは計算途中で導かれる結果ではなく，定義の段階で埋め込まれている仮定である．この意味でMatsubara形式は非常に強い言語であり，その強さと引き換えに適用範囲が明確に制限される．
Keldysh形式の立ち位置：平衡をまだ仮定していない言語 ¶
Schwinger–Keldysh形式は「非平衡用のGreen関数」と説明されることが多い．しかしより正確には，Keldysh形式は「平衡という仮定をまだ課していない」段階での言語である．前提に置くのは基本的に
- 因果性，
- ユニタリな時間発展，
- トレースとしての期待値，
であり，状態については極力何も決めない．その結果，分布関数が自由に残り，初期条件依存が現れ，同じ応答でも異なる状態が存在し得る．これは欠点ではなく，仮定を削ぎ落とした帰結である．
Matsubara形式は，Keldysh形式の上に追加される一つの強い制約（KMS条件）として位置づけられる．この見方を採ると，Matsubara形式とKeldysh形式の関係は「二者択一」ではなく，論理的な包含関係として理解できる．
本文章の立場 ¶
本文章ではGreen関数法を，物理的仮定を明示化し，平衡と非平衡を統一的に記述するための言語として位置づける．計算技法としての側面を否定するのではなく「どの仮定のもとでその計算が正当化されているのか」「その結論がどこまで一般的に成り立つのか」を自分で判断できる視点を与えることを目標とする．
まとめ ¶
- Green関数は計算手法として有用である．
- しかしその定義には物理的仮定（順序，因果性，状態）が埋め込まれている．
- Matsubara形式は強い仮定を持つ言語である．
- Keldysh形式は仮定を最小限にした言語であり，平衡はその上に追加される制約である．